Distribution associée à une fonction \(Uf\)
Distribution définie via l'intégrale de son argument avec \(f\) : $$\langle{Uf,\varphi}\rangle =\int_\Omega f\varphi\qquad\forall\varphi\in\mathcal D(\Omega).$$

• on doit avoir \(f\) \(\in L^1_{\operatorname{loc} }\)
• \(f\mapsto Uf\) est continue et injective, ce qui fait qu'on associe \(f\) et \(Uf\)
• caractérisation : on a \(T=Uf\) avec \(f\in L^p(\Omega)\) \(\iff\) \(\forall g\in\mathcal D(\Omega), \lvert T(g)\rvert\leqslant C\lVert g\rVert_q\), avec \(C\) une constante et \(q\) l'exposant conjugué de \(p\)
    
• "Une distribution est \(\in L^p\) si et seulement si elle définit une Forme linéaire sur son dual."

Questions de cours

Démontrer \((i)\implies(ii)\) :

Cela vient directement avec l'Inégalité de Hölder.

Démontrer \((ii)\implies(i)\) :

On utilise le Théorème de Hahn-Banach pour étendre \(T\) de \(\mathcal D(\Omega)\) à \(L^q\), qui est l'Espace dual de \(L^p\) (et on garde la domination).